Torta per torta

Bessie ed Elsie hanno preparato $n$ torte ciascuna. Ognuna delle $2n$ torte ha un valore di gusto assegnato da Bessie e, possibilmente, un diverso valore di gusto assegnato da Elsie.

Bessie sta per regalare una delle sue torte a Elsie. Se Elsie riceve una torta da Bessie, si sente in dovere di ricambiare regalando a sua volta una delle sue torte a Bessie. Per non sembrare né avara né eccessivamente generosa, Elsie cercherà di scegliere una torta che, secondo il suo giudizio, non sia meno gustosa di quella ricevuta, ma non più gustosa di oltre $d$ unità. Potrebbe non esistere una torta del genere, e in tal caso Elsie prenderà uno pseudonimo e partirà in esilio verso il Giappone.

Se Elsie riesce comunque a restituire una torta a Bessie, Bessie cercherà allo stesso modo di regalare a Elsie una torta che, secondo il suo giudizio, non sia meno gustosa, ma non più gustosa di oltre $d$ unità rispetto alla torta appena ricevuta da Elsie. Se ciò non è possibile, anche Bessie partirà in esilio. In caso contrario, regalerà a Elsie la torta scelta. Questo processo continua finché una delle mucche non viene esiliata, il che porta a un esito infelice, oppure finché una delle mucche non riceve una torta che considera avere un valore di gusto pari a $0$. In quest'ultimo caso, lo scambio di regali termina e entrambe le mucche sono felici.

Si noti che nessuna torta può essere regalata più di una volta, e nessuna delle due mucche può restituire una torta che ha precedentemente ricevuto.

Per ciascuna delle $n$ torte che Bessie può scegliere come suo primo regalo a Elsie, determinare il numero minimo di torte che possono essere regalate nel corso di tale scambio prima che le mucche diventino felici.