Il gioco della campana delle mucche (Argento)

Proprio come alle persone piace giocare a campana, le mucche del fattore John hanno inventato la propria versione di questo gioco. Poiché a giocarci sono animali goffi che pesano quasi una tonnellata, la «campana delle mucche» finisce quasi sempre in un disastro. Tuttavia, cosa sorprendente, ciò non impedisce alle mucche di giocare quasi ogni giorno.

Il gioco si svolge su un campo di dimensioni r \times c, dove ogni cella è contrassegnata da un numero intero compreso nell'intervallo $1\dots k$. Le mucche iniziano nella cella in alto a sinistra e devono raggiungere la cella in basso a destra, eseguendo una sequenza di salti. Un salto è valido se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. La cella in cui viene effettuato il salto ha un'etichetta diversa da quella della cella attuale.

2. La cella in cui viene effettuato il salto si trova almeno una riga più in basso rispetto alla cella attuale.

3. La cella in cui viene effettuato il salto si trova almeno una colonna più a destra rispetto alla cella attuale.

Aiutate le mucche a determinare il numero di sequenze distinte di salti validi che permettono loro di arrivare dalla cella in alto a sinistra a quella in basso a destra.