Bernulli sxemi#11726

Bernulli sxemi (Həll təhlili)

Bernulli sınağı — iki mümkün nəticəsi olan eksperimentdir:

Uğur (hadisə baş verir) $p$ ehtimalı ilə,
Uğursuzluq (hadisə baş vermir) $1 - p$ 1 - p ehtimalı ilə.

Sınaq o zaman "bernullivari" adlanır ki, o müstəqildir və onun uğur ehtimalı bütün sınaqlar ərzində sabit qalır.

Bernulli sınaqları sxemi — hər biri Bernulli sınağı olan müstəqil sınaqlar seriyasıdır. Sınaqların sayını $n$ ilə işarə edək. Hər sınaqda uğur ehtimalı $p$ və uğursuzluq ehtimalı $1 - p$ 1 - p dəyişməz qalır.

Nümunə kimi pulun dəfələrlə atılmasını göstərmək olar. Əgər bizi $n$ atışdan neçəsində gerb düşməsi maraqlandırırsa, bu da Bernulli sınaqları sxemidir.

$n$ Bernulli sınağından ibarət seriyada uğurların sayı binomial paylanmaya tabedir. Tutaq ki, $X$ — $n$ sınaqda uğurların sayını bildirən təsadüfi kəmiyyətdir. Onda:

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}

burada

$p$ — hər sınaqda uğur ehtimalı,
$k$ — $n$ sınaqdan uğurların sayı.

Sübut. Elə konkret sınaqlar ardıcıllığına baxaq ki, onda:

$k$ sınaq uğurludur (uğur ehtimalı $p$ )
$n - k$ n - k sınaq uğursuzdur (uğursuzluq ehtimalı $q = 1 - p$ q = 1 - p)

Sınaqlar müstəqil olduğundan, bu konkret ardıcıllığın ehtimalı ayrı-ayrı sınaqların ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Dəqiq $k$ uğur əldə etmək üçün, onların məhz hansı $k$ yerdə baş verəcəyini seçmək lazımdır. Bu cür üsulların sayı $C_{n}^{k}$ C_n^k kombinasiyalarının sayına bərabərdir.

Beləliklə, dəqiq $k$ uğurun olma ehtimalı aşağıdakına bərabərdir

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}

Binomial əmsalın qiymətini həqiqi ədədlərdə hesablamaq üçün aşağıdakı üsuldan istifadə edək:

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, l n C_{n}^{k} = l n n! - l n k! - l n (n - k)!

C_n^k = {n! \over k! (n - k)!}, \\ ln~C_n^k = ln~n! - ln~k! - ln~(n - k)!

Məlumdur ki, $l n n! = l n (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n) = l n 1 + l n 2 + ... + l n n$ ln~n! = ln~(1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n) = ln~1 + ln~2 + ... + ln~n

$l n i!$ qiymətlərini $l f [i]$ massivinin xanalarında yadda saxlayırıq. Sonra hesablayırıq

r es = l n n! - l n k! - l n (n - k)! = l f [n] - l f [k] - l f [n - k],

res = ln~n! - ln~k! - ln~(n - k)! = lf[n] - lf[k] - lf[n - k],

bundan sonra isə

C_{n}^{k} = e^{r es}

C_n^k = e^{res}

Nümunə

Birinci testdə $n = 8$ n = 8 sınaq aparılır. Hər sınaqda $A$ hadisəsinin baş vermə ehtimalı $p = 0.3$ p = 0.3-ə bərabərdir. Biz $A$ hadisəsinin dəqiq $k = 2$ k = 2 dəfə baş vermə ehtimalını tapmaq istəyirik. Axtarılan ehtimal bərabərdir:

P (X = 2) = C_{8}^{2} \cdot 0. 3^{2} \cdot 0. 7^{6} \approx 0.296475

P(X = 2) = C_8^2 \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^6 ≈ 0.296475

Alqoritmin reallaşdırılması

$l f$ iş massivini elan edək, burada $l f [i] = l n i! = l n 1 + l n 2 + ... + l n i$ lf[i] = ln~i! = ln~1 + ln~2 + ... + ln~i.

#define MAX 1001
double lf[MAX];

Giriş məlumatlarını oxuyuruq.

scanf("%d %d", \u0026n, \u0026k);
scanf("%lf", \u0026p);
q = 1 - p;

$l f$ massivini doldururuq.

lf[1] = 0;
for (i = 2; i \u003c= n; i++)
  lf[i] = lf[i - 1] + log(i);

Binomial əmsalın qiymətini $r es = C_{n}^{k}$ res = C_n^k hesablayırıq.

res = lf[n] - lf[k] - lf[n - k];
res = exp(res);

Cavabı $r es = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ res = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} hesablayırıq.

for (i = 0; i \u003c k; i++)
  res = res * p;
for (i = 0; i \u003c n - k; i++)
  res = res * q;

Cavabı çap edirik.

printf("%lf\n", res);