Il lancio dei dadi#11753
Alice e Bob stanno discutendo delle serie di rigori post-partita e di quanto in esse tutto sia deciso dal caso. «Tanto varrebbe decidere il vincitore lanciando dei dadi!» — disse Alice. Così iniziarono a simulare le serie di rigori: ciascuno lancia il proprio insieme di dadi e somma i numeri usciti, dopodiché le due somme vengono confrontate. Vince il giocatore con la somma maggiore; se le somme sono uguali, viene dichiarato un pareggio.
Ma anche in questo caso uno dei giocatori potrebbe avere un vantaggio rispetto all'altro — a seconda di quali dadi lancia ciascuno di loro. Perciò Alice e Bob vogliono determinare chi ha il vantaggio semplicemente osservando i dadi che dovranno lanciare.
Alice ha dadi equi, con a_1, a_2, \ldots, a_m facce. Per tutti gli interi e tali che 1 \le k \leq m e 1 \le l \le a_k, il -esimo dado di Alice mostra la faccia numero con probabilità 1/a_k. Il punteggio di Alice è la somma dei numeri usciti sui suoi dadi. Analogamente, Bob ha dadi equi, con b_1, b_2, \ldots, b_n facce.
Siano, con questi dadi, p_a la probabilità che il punteggio di Alice sia strettamente maggiore di quello di Bob, e p_b la probabilità che il punteggio di Bob sia strettamente maggiore di quello di Alice. Quale delle due probabilità è maggiore?
Nella prima riga sono scritti due numeri interi e n~(1 \le m, n \le 10^5). Nella seconda riga sono scritti numeri interi a_1, a_2, \ldots, a_m~(4 \le a_k \le 10^9 per 1 \le k \le m). Nella terza riga sono scritti numeri interi b_1, b_2, \ldots, b_n~(4 \le b_k \le 10^9 per 1 \le k \le n).
Stampate una sola parola in lettere maiuscole: "ALICE", se p_a > p_b, "TIED", se p_a = p_b, oppure "BOB", se p_a < p_b.
Esempio 1
Esempio 2