Кидання гральних костей

Аліса і Боб обговорюють серії післяматчевих пенальті та те, наскільки в них все вирішує випадок. "З тим самим успіхом переможця можна визначати киданням костей!" — сказала Аліса. Так вони і почали моделювати серії пенальті: кожен кидає свій набір гральних костей і додає числа, що випали, після чого дві суми порівнюються. Перемагає гравець з більшою сумою; якщо суми рівні, оголошується нічия.

Але навіть у цьому випадку один з гравців може мати перевагу над іншим — залежно від того, які кості кидає кожен з них. Тому Аліса і Боб хочуть визначити, у кого перевага, просто подивившись на кості, які їм належить кинути.

У Аліси є $m$ правильних костей, у яких a_1, a_2, \ldots, a_m граней. Для всіх цілих $k$ і $l$ таких, що 1 \le k \leq m і 1 \le l \le a_k, $k$-та кістка Аліси випадає гранню з номером $l$ з імовірністю 1/a_k. Очки Аліси — це сума чисел, що випали на її $m$ костях. Аналогічно, у Боба є $n$ правильних костей, у яких b_1, b_2, \ldots, b_n граней.

Нехай для цих костей p_a — імовірність того, що очок у Аліси строго більше, ніж у Боба, а p_b — імовірність того, що очок у Боба строго більше, ніж у Аліси. Яка з двох імовірностей більша?