Cover Up

"Правильна ціна" — популярне ігрове шоу, де учасники грають у різні ігри, щоб виграти чудові призи. Однією з ігор у цьому шоу є Cover Up, метою якої є вгадати $5$-значне число (насправді, ціну нового автомобіля). У реальній грі учасникам на вибір пропонується дві цифри для першого розряду, три — для другого і так далі. Учасник обирає по одній цифрі для кожного розряду (з числа ще не обраних цифр для цього розряду) і потім дізнається, які з них правильні; якщо хоча б одна правильна, гравець отримує ще одну спробу для всіх неправильних розрядів. Учасник продовжує вибирати, поки з кожною спробою хоча б одна нова цифра буде відгадана правильно. Гра закінчується, коли або всі цифри вгадані (перемога гравця), або після спроби не було вгадано жодної нової цифри (поразка).

Як правило, це не чиста удача. Наприклад, припустимо, що для останньої цифри є такі п'ять варіантів: $\text{1}$, $\text{3}$, $\text{5}$, $\text{8}$ та $\text{9}$. Багато цін на автомобілі закінчуються або на $\text{5}$, або на $\text{9}$, тому, скажімо, є $70\%$ ймовірності, що одна з цих двох цифр правильна; це складає по $35\%$ для $\text{5}$ чи $\text{9}$ і по $10\%$ для кожної з інших трьох цифр. Тепер припустимо, що ви обрали $\text{5}$, і це не вона, але якусь іншу цифру ви вгадали правильно, і продовжуєте гру. З цією додатковою інформацією ймовірності для решти $4$ цифр змінюються: для $\text{9}$ — тепер близько $54\%$, а для кожної з трьох решти трохи більше $15\%$. (Ми залишаємо вам з'ясувати, як виходять ці значення.) Позначимо $\text{5}$ і $\text{9}$ в початковій групі як відомих кандидатів; зазвичай відомі кандидати є також і в інших розрядах. Наприклад, якщо для першої (старшої) цифри пропонується $\text{1}$ і $\text{9}$, учасник може бути $100\%$ впевнений, що правильна — $\text{1}$ (дарують не так багато автомобілів по $\$90,000$).

У цій задачі вам потрібно визначити ймовірність виграшу в грі, якщо використовувати оптимальну стратегію при виборі цифр (ґрунтуючись на ймовірностях, подібних до тих, що описані вище).