Ehtimal nədir?#1571

Ehtimal nədir? (Həll təhlili)

Oyunu ehtimal nəzəriyyəsi baxımından nəzərdən keçirək:

Bizə $i$ -ci oyunçunun udma ehtimalı maraqlıdır.

$i$ –ci oyunçunun udması o deməkdir ki:

Bununla $i$ -ci oyunçu uda bilər:

Yekun ehtimal bütün bu halların ehtimallarının cəminə bərabərdir.

$i$ –ci oyunçunun ilk növbəsində udması üçün iki şərt yerinə yetirilməlidir:

İlk $i - 1$ i - 1 oyunçular uduzublar. Hadisənin ehtimalı $(1 - p)^{i - 1}$ (1 - p)^{i - 1}
$i$ -ci oyunçu uddu. Hadisənin ehtimalı $p$ -dir.

Çünki hadisələr müstəqildir, $i$ –ci oyunçunun ilk növbəsində udma ehtimalı aşağıdakı kimidir:

p \cdot (1 - p)^{i - 1}

p \cdot (1 - p)^{i - 1}

$i$ -ci oyunçu ikinci növbəsində udacaq, əgər:

Bütün $n$ oyunçu bir atış edərək uduzublar: $(1 - p)^{n}$ (1 - p)^n
İkinci dövrədə ilk $i - 1$ i - 1 oyunçular yenidən uduzublar. Hadisənin ehtimalı $(1 - p)^{i - 1}$ (1 - p)^{i - 1}-dir.
$i$ -ci oyunçu uddu. Hadisənin ehtimalı $p$ -dir.

Вероятность для $i$ -го игрока выиграть на своём втором ходе равна

p \cdot (1 - p)^{i - 1} \cdot (1 - p)^{n}

p \cdot (1 - p) ^ {i - 1} \cdot (1 - p)^n

Eyni şəkildə davranaraq, biz $i$ –ci oyunçunun $k$ –nci növbəsində udma ehtimalını əldə edirik:

p \cdot (1 - p)^{i - 1} \cdot (1 - p)^{n (k - 1)}

p \cdot (1 - p)^{i - 1} \cdot (1 - p)^{n(k - 1)}

İndi əldə etdiyimiz ehtimalları toplamalıyıq. Ümumi $i$ -ci oyunçunun udma ehtimalı bərabərdir:

p \cdot (1 - p)^{i - 1} (1 + (1 - p)^{n} + (1 - p)^{2 n} + .. + (1 - p)^{k n} + ...)

p \cdot (1 - p)^{i-1} (1 + (1 - p)^n + (1 - p)^{2n} + .. + (1 - p)^{kn} + ...)

Möhtəvilərin içində $1$ ilk üzvü və $(1 - p)^{n}$ (1 - p)^n məxrəci olan sonsuz həndəsi silsilə var. Udma ehtimalı bərabərdir:

p \cdot (1 - p)^{i - 1} \frac{1}{1 - ( 1 - p ) ^{n}} = \frac{p \cdot ( 1 - p ) ^{i - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{n}}

p \cdot (1 - p)^{i - 1} \frac{1}{1-(1-p)^n} = \frac{p \cdot (1 - p)^{i - 1}}{1 - (1 - p)^n}

Xüsusi qeyd edilməlidir ki, $p = 0$ p = 0 olduqda cavab $0$ -a bərabərdir.

Alqoritmin tətbiqi

Giriş məlumatlarını oxuyuruq.

scanf("%d",&t);
while(t--)
{
  scanf("%d %lf %d",&n,&p,&i);

Əgər $p$ ehtimalı $0$ -a bərabərdirsə, $0$ çap edirik.

  if (p == 0) printf("0\n");
  else
  {

Əksinə, yuxarıda göstərilmiş formulaya görə axtarılan ehtimalı hesablayırıq. Nəticəni 4 onluq dəqiqliklə çap edirik.

    res = p * pow(1 - p,i - 1) / (1 - pow(1 - p,n));
    printf("%.4lf\n",res);
  }
}