Чи є життя на Марсі?

- Брешеш, Коля! Немає життя на Марсі! Хто тобі таку нісенітницю сказав?

- Петя. Йому Саша сказав.

- Та від Петі я правди ніколи не чув! Він постійно все перекручує. А звідки це Саша знає?

- Саша почув це від Володимира Олексійовича, нашого вчителя біології.

- Володимиру Олексійовичу можна довіряти... Але навряд чи він таке казав. Або Саша, або Петя вигадав. А може й ти мене обманюєш?..

- Секундочку, хлопці, втрутився вчитель математики Гліб Тимофійович, давайте розглянемо задачу формально. Припустімо, що всі розмови — Володимира Олексійовича з Сашею, Саші з Петею та Петі з Колею — справді мали місце. Пронумеруємо хлопців як $1,2,3$. Нехай кожен з них незалежно передає інформацію про життя на Марсі правильно з ймовірністю p_i, і бреше з ймовірністю q_i = 1 - p_i для i = 1, 2, 3. Ймовірності — дійсні числа від $0$ до $1$; подія з імовірністю $0$ ніколи не відбувається, а з імовірністю $1$ — відбувається завжди. Відомо, що Коля у підсумку заявляє, що життя на Марсі є. За p_i знайдіть ймовірність, що так сказав Володимир Олексійович.

- Як знайти цю ймовірність? І що таке "незалежно"? — хлопці розгубилися.

- Незалежність означає, що дії одного з хлопців не впливають на дії інших. Наприклад, Петі все одно, чи збрехав Саша — у будь-якому разі, Петя передає те, що почув від Саші, правильно з імовірністю саме p_2. Задача не складна, можна перебрати всі вісім можливих випадків. Перший — усі хлопці сказали правду, ймовірність цього — p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. У цьому випадку життя на Марсі є — довіряємо Володимиру Олексійовичу, а хлопці передали його слова правильно. Другий випадок — лише Саша збрехав, виникає з імовірністю q_1 \cdot p_2 \cdot p_3, тоді життя на Марсі немає. Розглянемо решту шість випадків, кожного разу перемножуючи відповідні ймовірності, а потім додамо ймовірності тих випадків, у яких слова вчителя передано правильно. Те, що ймовірності окремих людей перемножуються у кожному випадку — це формальне визначення незалежності. Отже, у скількох випадках саме те, що сказав Володимир Олексійович, буде передано?

- В одному...

- Ні. Наприклад, якщо Петя і Коля збрехали, а Саша сказав правду, то істина, перекручена двічі, дійшла до нас без змін. Загалом, парна кількість заперечень повертає вислів до початкового стану. У нашій задачі є чотири випадки з парною кількістю заперечень, і кінцева ймовірність — це p_1 p_2 p_3 + q_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 q_3.

- Тобто, якщо Петя та Коля завжди брешуть, а Саша завжди каже правду, то ми від Колі почуємо саме те, що сказав учитель?

- Правильно. А тепер розв'яжіть задачу в загальному випадку, коли хлопців $n$, а не три. Хто першим розв'яже — отримає п'ятірку на найближчій контрольній!