Дріб у LATEX-і

Система підготовки публікацій LATEX призначена для верстки складних наукових та технічних документів, що містять численні формули. Початковий файл для LATEX пишеться мовою TEX і містить текст документа, в який включаються спеціальні символи й команди. Ці символи та команди визначають розмітку тексту, особливо всередині математичних формул. Команда — це послідовність латинських букв (з урахуванням регістру), що починається зі символу зворотного слешу (\). Наприклад, команда \frac використовується для зображення дробу, де чисельник розташовано над знаменником. Давайте розглянемо базову структуру команди \frac.

Команда \frac вимагає два параметри: чисельник і знаменник. Перед самою командою вставляти пробіл не потрібно. Після ключового слова \frac вказуються чисельник і знаменник. Якщо чисельник або знаменник складаються з більш ніж одного символа, вони беруться у фігурні дужки. Якщо це одна літера чи цифра, можна записати без дужок. Коли чисельник є одним символом, його має бути відділено від \frac щонайменше одним пробілом. Навпаки, якщо знаменник — один символ, його не відділяють пробілом від чисельника. Будь-яка кількість пробілів вважається еквівалентною одному пробілу. Пробіли не можуть розділяти ключове слово \frac.

Формальні визначення виразів для цієї задачі такі:

<expression> ::= <element> | <element><expression> <element> ::= <fraction> | <expression> | <other mathematical element> <fraction> ::= "\frac" <fraction body> <fraction body> ::= <numerator><denominator> <numerator> ::= <spaces><non-space character> | [<spaces>] "" <expression> "" <denominator> ::= <non-space character> | [<spaces>] "" <expression> "" <other mathematical element> ::= будь-яка послідовність друкованих символів, що не містить фігурних дужок та підрядка \frac <spaces> ::= " " | " " <spaces> <non-space character> ::= будь-який друкований символ, крім " ", "\", "", і ""

У цьому контексті вертикальна риска | означає «або», частина у квадратних дужках може бути необов'язковою, а символи в лапках представляють самих себе. Друкований символ — це будь-який символ з ASCII-кодом від $32$ (пробіл) до $127$.

Наприклад, вираз

у TEX записується як

\fraca+bd+1 + \frac ax - \frac 2 2+\frac3y

Щоб відобразити формулу у друкованому документі, потрібно обчислити її висоту залежно від використаного шрифту. Шрифт визначає два розміри: $S$ — висота наступного символу, та $D$ — висота горизонтальної дробової лінії. Обидва числа $S$ і $D$ задано цілими числами. Ваше завдання — обчислити висоту формули для заданого TEX-виразу.

Зверніть увагу, що якщо два дроби входять до одного виразу, їхні лінії дробу вирівнюються по одному рівню. Однак це не обов'язково, якщо вони належать до чисельників чи знаменників різних дробів. Для ілюстрації цього правила розгляньте такі приклади:

\fraca+b\frac cd + \frac\frac efg+h

\fraca+b+c\frac\frac deg+h + \fraci+j+k\fracl+m\frac no