Абелеві групи

У країні Берляндії у місті $N$ є така традиція. Якщо дівчина бажає вийти заміж за молодого чоловіка, а в його планах немає бажання дарувати їй усі можливі намиста з шести бусинок, то вона повинна щодня дарувати йому одну нову абелеву групу порядку $N$. І лише коли всі можливі абелеві групи подаровано, молодий чоловік погодиться щодня дарувати їй одне нове намисто з шести бусинок, і зрештою вони одружаться. При цьому, якщо дві абелеві групи ізоморфні, то вони вважаються однаковими і дарувати потрібно лише одну з них. Дівчина на ім'я Афіна закохалась в одного дуже зайнятого програміста на ім'я Петя. Тепер вона хоче дізнатися, скільки днів їй потрібно дарувати йому абелеві групи, перш ніж він погодиться дарувати їй намиста.

Нагадаємо основні поняття і факти щодо абелевих груп.

Абелева група — це пара G=(A,*), де $A$ — це деяка множина, а $\ast$ — це бінарна операція на $A$, тобто довільним двом елементам $a$ та $b$ з $A$ ставиться у відповідність елемент a*b, який також належить $A$. При цьому повинні виконуватися такі властивості, які називають аксіомами абелевої групи:

(i) Асоціативність: для довільних a, b, c \in A виконується рівність (a*b)*c=a*(b*c).

(ii) Існує e \in A таке, що для довільного a \in A виконуються рівності a*e=e*a=a.

(iii) Для довільного a \in A існує b \in A таке, що виконуються рівності a*b=b*a=e.

(iv) Комутативність: для довільних a, b \in A виконується рівність a*b=b*a.

Важливим прикладом абелевої групи є циклічна група порядку $n$: множина чисел від $0$ до n-1 з операцією додавання за модулем $n$. Вона позначається як Z_n.

Прямою сумою двох абелевих груп G = (A, *) і H = (B, \cdot) називається пара GH = (C, \times), де C = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \} і (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) = (a_1 * a_2, b_1 \cdot b_2) для всіх a_1, a_2 \in A і b_1, b_2 \in B.

Дві групи G = (A, *) і H = (B, \cdot) називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення $f$ з $A$ на $B$ таке, що f(a_1) \cdot f(a_2) = f(a_1*a_2) для всіх a_1, a_2 \in A.

Фундаментальна теорема теорії абелевих груп стверджує, що довільна скінченна абелева група ізоморфна прямій сумі деяких циклічних груп.

Китайська теорема про залишки стверджує, що Z_{mn} ізоморфна Z_m Z_n тоді і лише тоді, коли $m$ і $n$ взаємно прості.

Останні два твердження дозволяють описувати всі абелеві групи порядку $n$ з точністю до ізоморфізму.

Наприклад, якщо $n$ — просте, то всі групи порядку $n$ ізоморфні Z_n.

Існує $2$ неізоморфні групи порядку $4$: Z_4 і Z_2 Z_2.

Існує $3$ неізоморфні групи порядку $27$: Z_{27}, Z_9 Z_3 і Z_3 Z_3 Z_3.

Існує $4$ неізоморфні групи порядку $36$: Z_4 Z_9, Z_2 Z_2 Z_9, Z_4 Z_3 Z_3 і Z_2 Z_2 Z_3 Z_3.