Faktorial, dərəcələr və abel qrupları

$f(n)$ funksiyası $n$ ədədlilər üçün izomorfizmə görə fərqli olan abel qruplarının sayını göstərir. $m$ və $N$ sabit müsbət tam ədədlərdir. Bir neçə cüt müsbət tam ədədlər $L$ və $R$ üçün (L \leq R \leq N şərtini ödəyir), aşağıdakı cəmin qiymətini tapın:

Gəlin abel qrupları barədə əsas anlayış və faktları xatırlayaq.

Abel qrupu G = (A, *) cütlüyüdür, burada $A$ məcmu, $\ast$ isə $A$ üzərində binar əməl (istənilən a, b \in A üçün a*b də $A$-dadır). Abel qrupunun aksiomları adlanan aşağıdakı xüsusiyyətlər ödənməlidir:

(i) Asosiativlik: istənilən $a$, $b$, c \in A üçün (a*b)*c = a*(b*c) olmalıdır.

(ii) $A$-da elə $e$ elementi mövcuddur ki, istənilən a \in A üçün a*e = e*a = a.

(iii) Hər a \in A üçün elə b \in A mövcuddur ki, a*b = b*a = e.

(iv) Kommutativlik: istənilən $a$, b \in A üçün a*b = b*a.

Abel qrupuna əsas nümunə mövcudluğu $n$ olan tsiklik qrupdur: $0$-dan n-1-ə qədər olan ədədlər və $n$-ə görə qalıq üzrə toplama əməliyyatı. Bu, _n kimi işarə olunur.

İki abel qrupu G = (A, *) və H = (B, \cdot)-un birbaşa cəmi G \ H = (C, \times) cütlüyüdür, burada C = \{ (a, b) : a \in A,\ b \in B \} və (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) = (a_1 * a_2, b_1 \cdot b_2) istənilən a_1, a_2 \in A və b_1, b_2 \in B üçün.

İki qrup G = (A, *) və H = (B, \cdot) izomorf adlanır, əgər $A$-dan $B$-yə elə bir-birinə uyğunluq $f$ tapılırsa ki, f(a_1) \cdot f(a_2) = f(a_1 * a_2) bütün a_1, a_2 \in A üçün doğrudur.

Abel qrupları nəzəriyyəsinin əsas teoremi göstərir ki, istənilən sonlu abel qrupu bəzi tsiklik qrupların birbaşa cəminə izomorf olur.

Çin qalığı teoremi deyir ki, _{mn} qrupu _m \ _n qrupuna izomorf olar, yalnız və yalnız $m$ və $n$ qarşılıqlı sadədirsə.

Son iki fakt imkan verir ki, $n$ mövcudluğu üçün izomorfizmə görə bütün abel qrupları təsvir olunsun.

Məsələn, əgər $n$ sadədirsə, onda bütün $n$ mövcudluğu olan qruplar _n-yə izomorfdur.

Mövcudluğu $4$ olan $2$ fərqli qrup var: _4 və _2 \ _2.

Mövcudluğu $27$ olan $3$ fərqli qrup var: _{27}, _9 \ _3 və _3 \ _3 \ _3.

Mövcudluğu $36$ olan $4$ fərqli qrup var: _4 \ _9, _2 \ _2 \ _9, _4 \ _3 \ _3 və _2 \ _2 \ _3 \ _3.