Факторіал, степені та абелеві групи

Нехай $f(n)$ позначає кількість абелевих груп порядку $n$ з точністю до ізоморфізму. Нехай $m$ та $N$ — це фіксовані додатні цілі числа. Для кількох пар додатних цілих чисел $L$ і $R$ таких, що L \leq R \leq N, знайдіть значення суми

Згадаємо основні поняття та факти про абелеві групи.

Абелева група — це пара G = (A, *), де $A$ — множина, а $\ast$ — бінарна операція на $A$, тобто для будь-яких двох елементів $a$ і $b$ з $A$ результат a*b також належить $A$. Повинні виконуватись такі властивості, які називають аксіомами абелевої групи:

(i) Асоціативність: для будь-яких $a$, $b$, $c$ з $A$ виконується (a*b)*c = a*(b*c).

(ii) Існує такий $e$ з $A$, що для будь-якого $a$ з $A$ виконується a*e = e*a = a.

(iii) Для будь-якого $a$ з $A$ існує $b$ з $A$ таке, що a*b = b*a = e.

(iv) Комутативність: для будь-яких $a$, $b$ з $A$ виконується a*b = b*a.

Важливим прикладом абелевої групи є циклічна група порядку $n$: множина чисел від $0$ до n-1 з операцією додавання за модулем $n$. Її позначають як _n.

Прямою сумою двох абелевих груп G = (A, *) і H = (B, \cdot) називається пара G \ H = (C, \times), де C = \{ (a, b): a \in A,\ b \in B \} і (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) = (a_1 * a_2, b_1 \cdot b_2) для всіх a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B.

Дві групи G = (A, *) та H = (B, \cdot) називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначна відповідність $f$ з $A$ на $B$ така, що f(a_1) \cdot f(a_2) = f(a_1 * a_2) для всіх a_1, a_2 \in A.

Основна теорема теорії абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченна абелева група ізоморфна прямій сумі деяких циклічних груп.

Теорема про китайське остачне ділення стверджує, що _{mn} ізоморфна _m \ _n тоді і лише тоді, коли $m$ і $n$ взаємно прості.

Останні два факти дозволяють описати всі абелеві групи порядку $n$ з точністю до ізоморфізму.

Наприклад, якщо $n$ — просте число, то всі групи порядку $n$ ізоморфні _n.

Існує $2$ неізоморфні групи порядку $4$: _4 та _2 \ _2.

Існує $3$ неізоморфні групи порядку $27$: _{27}, _9 \ _3 і _3 \ _3 \ _3.

Існує $4$ неізоморфні групи порядку $36$: _4 \ _9, _2 \ _2 \ _9, _4 \ _3 \ _3 і _2 \ _2 \ _3 \ _3.