Elevamento a potenza#273

Elevamento a potenza (Editoriale)

L'elevamento a potenza — è un'operazione matematica, indicata come $x^{n}$ x^n, che coinvolge due numeri: la base $x$ e l'esponente $n$ . Se $n$ — è un numero naturale, allora l'operazione di elevamento a potenza si riduce alla moltiplicazione successiva della base per se stessa: $x^{n}$ x^n — è il prodotto di $n$ fattori, ciascuno dei quali è uguale a $x$ : $x^{n} = x \cdot x \cdot ... \cdot x$ x^n = x \cdot x \cdot ... \cdot x.

Come calcolare $x^{n}$ x^n dati $x$ e $n$ ? Si può utilizzare un semplice ciclo con complessità $O (n)$ . L'algoritmo lineare rientrerà nei tempi, poiché $n \leq 1 0^{7}$ n \le 10^7.

Si può anche utilizzare l'elevamento a potenza veloce:

x^{n} m o d m = ⎩ ⎨ ⎧ (x^{2})^{n /2}, se n e ˋ p a r i, x \cdot x^{n - 1}, se n e ˋ d i s p a r i, 1, n = 0

x^n~mod~m = \begin{cases} (x^2)^{n/2}, se~n~è~pari,\\ x \cdot x^{n-1}, se~n~è~dispari, \\ 1, n = 0 \end{cases}

Implementazione dell'algoritmo

Utilizziamo il tipo intero a $64$ bit long long. Leggiamo i dati di input.

scanf("%lld %lld %lld",&x,&n,&m);

Calcoliamo il valore di $x^{n} m o d m$ x^n~mod~m tramite un ciclo.

res = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
  res = (res * x) % m;

Stampiamo la risposta.

printf("%lld\n",res);

Implementazione tramite elevamento a potenza veloce

La funzione PowMod calcola il valore dell'espressione $x^{n} m o d m$ x^n~mod~m.

long long PowMod(long long x, long long n, long long m)
{
  if (n == 0) return 1;
  if (n % 2 == 0) return PowMod((x * x) % m, n / 2, m);
  return (x * PowMod(x, n - 1, m)) % m;
}

Parte principale del programma. Leggiamo i dati di input.

scanf("%lld %lld %lld",&x,&n,&m);

Calcoliamo e stampiamo la risposta.

res = PowMod(x,n,m);
printf("%lld\n",res);

Implementazione Java — complessità lineare

import java.util.*;

public class Main
{
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner con = new Scanner(System.in);
    long x = con.nextLong(),
         n = con.nextLong(),
         m = con.nextLong();
    long res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = (res * x) % m;
    System.out.println(res);
    con.close();
  }
}

Java

Implementazione Java — O(log2n)

import java.util.*;

public class Main
{
  static long PowMod(long x, long n, long m)
  {
    if (n == 0) return 1;
    if (n % 2 == 0) return PowMod((x * x) % m, n / 2, m);
    return (x * PowMod(x, n - 1, m)) % m;
  }
	
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner con = new Scanner(System.in);
    long x = con.nextLong();
    long n = con.nextLong();
    long m = con.nextLong();
    long res = PowMod(x,n,m);
    System.out.println(res);
    con.close();
  }
}

Java

Implementazione Java — powMod

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main
{
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner con = new Scanner(System.in);	  
    BigInteger x = con.nextBigInteger();
    BigInteger n = con.nextBigInteger();
    BigInteger m = con.nextBigInteger();
    System.out.println(x.modPow(n,m));    
    con.close();
  }
}

Java

Implementazione Python — pow

Leggiamo i dati di input.

x, n, m = map(int, input().split())

Calcoliamo e stampiamo la risposta. Utilizziamo la funzione integrata pow per calcolare l'espressione $x^{n} m o d m$ x^n~mod~m.

print(pow(x, n, m))

Implementazione Python — ciclo

Leggiamo i dati di input.

x, n, m = map(int, input().split())

Calcoliamo il valore di $x^{n} m o d m$ x^n~mod~m tramite un ciclo.

res = 1
for i in range(1, n + 1):
  res = (res * x) % m

Stampiamo la risposta.

print(res)