Судоку

О, ні! Білл просто зрозумів, що ця Судоку, над розв'язанням якої він провів останні десять хвилин, по суті, була задачею з минулого тижня, лише повернутою проти годинникової стрілки. Як дешево! Невже журнал не може дозволити собі нову задачу кожного тижня? Звичайно, він не мав можливості дізнатися про це до того, як почав її розв'язувати, та й порожні місця для заповнення цифрами були іншими, ніж минулого тижня. Тим не менше, розуміння того, що на цьому тижні головоломка була простою похідною від задачі з минулого тижня, звичайно, принесло задоволення більше, ніж розв'язання усього іншого.

Поле для Судоку складається з таблиці 9 \times 9 клітинок. Вони можуть бути згруповані у 3 \times 3 областях розміром 3 \times 3 клітинки кожна. Деякі клітинки заповнено цифрами від $1$ до $9$, а інші залишаються порожніми. Мета гри полягає у тому, щоб заповнити кожну порожню клітинку цифрою $1\dots 9$ так, щоб у кожному рядку, кожному стовпці і у кожній області містилась кожна з цифр $1\dots 9$ лише один раз. Правильне судоку завжди має рівно один розв'язок.

Допоможіть Біллу уникнути неприємних сюрпризів, написавши програму, яка перевірить, чи є нерозв'язані Судоку дійсно похідними від більш ранніх задач, отриманими за допомогою простих операцій.

Дозволеними операціями є:

1. Поворот усієї головоломки за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки.

2. Обмін двох стовпців у колонці розміром 3 \times 9 у одному сегменті.

3. Обмін двох рядків у смузі розміром 9 \times 3 у одному сегменті.

4. Обмін місцями сегментів рядків та стовпців.

5. Застосування перестановки $f$ цифр $1\dots 9$ у кожній клітинці (наприклад, заміна $x$ на $f(x)$ у кожній клітинці).

Вважається, що операція виконується над розв'язаним Судоку (а не над нерозв'язаними задачами), також завжди гарантується, що якщо існував розв'язок до перетворення Судоку, то він існує і після нього.