Перемикачі

Розгляньмо гру з чотирма перемикачами. Кожен перемикач має ціле невід'ємне число, яке визначає його положення. Для першого перемикача можливі значення від $0$ до $a$, для другого — від $0$ до $b$, для третього — від $0$ до $c$, а для четвертого — від $0$ до $d$.

На початку всі перемикачі встановлені на $0$. Завдання — перевести їх у положення $a$, $b$, $c$ та $d$ відповідно, використовуючи якомога менше ходів.

Під час кожного ходу гравець обирає перемикач, який ще не досяг максимального положення, і збільшує його значення на $1$. При цьому інші перемикачі можуть змінити своє значення: кожен з них з рівною ймовірністю може збільшитися на $1$, зменшитися на $1$ або залишитися без змін. Якщо перемикач знаходиться в положенні $0$, він може або збільшитися на $1$, або залишитися без змін. Якщо ж він у максимальному положенні, то може або зменшитися на $1$, або залишитися без змін.

Необхідно визначити середню кількість ходів, потрібних для завершення гри, тобто переведення перемикачів з положення ($0$, $0$, $0$, $0$) у положення ($a$, $b$, $c$, $d$), діючи оптимально.