Конфігурація стикувальних відсіків космічної станції

Міжнародний консорціум космічної інженерії проєктує модульну космічну станцію з інноваційною системою вкладених стикувальних відсіків. Головному архітектору станції необхідний аналітичний інструмент для визначення всіх допустимих конфігурацій стикувальних відсіків.

У цій системі стикувальні відсіки можуть вкладатися один в одного, створюючи складні ієрархічні структури. Кожна допустима конфігурація повинна відповідати суворим протоколам безпеки:

Нехай $X$ — множина всіх допустимих конфігурацій стикувальних відсіків. Довжина конфігурації $E$ — це загальна кількість операцій стикування (входів і виходів), необхідних для неї. Глибина вкладеності $D(E)$ для конфігурації $E$ визначається наступним чином:

• Якщо $E$ порожня, то D(E) = 0

• Якщо E = (E_1)E_2, де E_1 та E_2 — допустимі конфігурації, тоді D(E) = \max(D(E_1) + 1, D(E_2))

Кожна пара дужок позначає операцію входу та виходу з рівня стикувального відсіку.

Наприклад, конфігурація $()(())()$ має довжину $8$ ($4$ пари операцій входу/виходу) та глибину вкладеності $2$ (максимум $2$ вкладених рівні).

Інженерна команда має визначити: для заданої довжини $n$ (кількість операцій стикування) та необхідної глибини вкладеності $d$ (рівно $d$ рівнів), скільки існує різних допустимих конфігурацій?

Обмеження:

• Глибина вкладеності $d$ задовольняє 1 \le d \le 200

• Довжина $n$ задовольняє 2 \le n \le 300 (відповідає парам входу/виходу)

• Максимальна глибина вкладеності будь-якої конфігурації повинна дорівнювати рівно $d$