Задобрите Инти

Как вы помните, племя Майя вымерло, племя Йюля вынуждено было распасться и покинуть обжитые территории, и вот теперь племени Авгуйя тоже угрожает опасность. Задобрив бога дождя Тлалока, они напрочь забыли про бога солнца Инти, который, будучи обделённым вниманием, грозится ниспослать испепеляющую жару, если жители племени не порадуют его божественный взор новой коллекцией симпатичных узоров, выложенных из огромных гранитных плит, покрашенных в чёрный и белый цвета. Напомним, что симпатичным узором называется прямоугольник шириной $W$ и высотой $H$, ни один квадрат 2 \times 2 которого не покрашен в один цвет.

В данной задаче таскать гранитные плиты вам не придётся, однако потребуется определить $K$-й лексикографически симпатичный узор. Один узор будем считать лексикографически меньшим другого, если при просмотре узора по столбцам сверху вниз найдётся такая позиция, что все плиты, рассмотренные ранее, совпадают попарно по цвету, а плита на данной позиции у первого узора белая, а у второго — чёрная.