Polinomlar

$k$ dəyişəni olan bir polinomu, monomların cəmi kimi aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

,

Burada p(i, j) $i$-ci monomda $j$-ci dəyişənin dərəcəsini göstərir (p(i, j) \geq 0) və a_i sıfırdan fərqli bir tam ədəddir. Monomun dərəcəsi, onun bütün dəyişənlərinin dərəcələrinin cəmidir. Çoxdəyişənli polinomun dərəcəsi isə bütün monomlar arasında ən böyük dərəcədir və bir tam ədəd kimi ifadə olunur. Bənzər monomlar birləşdirildikdən sonra $m$ minimum seçilərsə və monomlar hər hansı bir meyara əsasən, məsələn, əvvəlcə dərəcəyə, sonra isə leksikoqrafik olaraq sıralanarsa, polinomun kanonik təsviri alınır. Bu o deməkdir ki, istənilən polinom bu təsvirə görə unikal olur.

Bir polinomun təsviri, əgər onun kanonik təmsilində bütün mümkün monomlar varsa, o polinom tam adlanır. Məsələn, iki dəyişəndə dərəcəsi $3$ olan tam bir polinom aşağıdakı kimidir:

P(x, y) = a_{10}x^3 + a_9x^2y + a_8xy^2 + a_7y^3 + a_6x^2 + a_5xy + a_4y^2 + a_3x + a_2y + a_1

Bir dəfə, balaca Dima çox mürəkkəb topoloji xüsusiyyətlərə malik cəbri strukturlar öyrənməyə başlayıb və aşağıdakı problemlə qarşılaşıb.

Dima, $k$ dəyişəndə dərəcəsi $n$ olan tam bir polinom əldə etmişdir və indi onu aşağıdakı sual maraqlandırır:

(a) Əgər polinomun dərəcəsi cütdürsə, onun kanonik təsvirində neçə dərəcəsi cüt olan monom var?

(b) Əgər polinomun dərəcəsi təkdirsə, onun kanonik təsvirində neçə dərəcəsi tək olan monom var?