Поліноми

Розглянемо багаточлен з $k$ змінними, представлений як сума одночленів:

,

Тут p(i, j) означає ступінь $j$-ої змінної в $i$-му одночлені (p(i, j) \geq 0), а a_i — ненульова ціла константа. Ступенем одночлена називається сума ступенів усіх його змінних. Ступенем багаточлена від кількох змінних називають максимальний ступінь серед усіх одночленів, що входять до нього, записаний числом. Мінімізуючи $m$ (після зведення подібних), а також впорядкувавши одночлени за певним критерієм, наприклад, спершу за ступенем, потім лексикографічно, отримуємо канонічний запис багаточлена. Це означає, що будь-який багаточлен матиме єдине вираження у такому записі.

Багаточлен називається повним, якщо у його канонічному записі містяться всі можливі одночлени. Наприклад, повний багаточлен ступеня $3$ від $2$ змінних:

P(x, y) = a_{10}x^3 + a_9x^2y + a_8xy^2 + a_7y^3 + a_6x^2 + a_5xy + a_4y^2 + a_3x + a_2y + a_1

Одного разу маленький Діма почав вивчати дуже складні топологічні властивості алгебраїчних структур і натрапив на таке завдання.

У Діми є повний багаточлен ступеня $n$ від $k$ змінних, і тепер його цікавить таке:

(a) Якщо ступінь багаточлена парний, скільки одночленів парного ступеня міститься у його канонічному представленні?

(b) Якщо ступінь багаточлена непарний, скільки одночленів непарного ступеня міститься у його канонічному представленні?