Трикутник Фаульхабера

Сума $m$-тих степенів перших $n$ цілих чисел

може бути виражена як поліном ступеня m+1 від $n$:

Наприклад:

S(n, 1) = (1 + \ldots + n) = \frac{1}{2} \cdot n^2 + \frac{1}{2} \cdot n

S(n, 2) = (1 + \ldots + n^2) = \frac{1}{3} \cdot n^3 + \frac{1}{2} \cdot n^2 + \frac{1}{6} \cdot n

S(n, 3) = (1 + \ldots + n^3) = \frac{1}{4} \cdot n^4 + \frac{1}{2} \cdot n^3 + \frac{1}{4} \cdot n^2

S(n, 4) = (1 + \ldots + n^4) = \frac{1}{5} \cdot n^5 + \frac{1}{2} \cdot n^4 + \frac{1}{3} \cdot n^3 - \frac{1}{30} \cdot n

Коефіцієнти F(m, k) цих формул утворюють Трикутник Фаульхабера:

де рядки $m$ починаються з $0$ (зверху), а стовпці $k$ йдуть від $1$ до m+1.

Кожен рядок Трикутника Фаульхабера може бути обчислений з попереднього рядка за допомогою:

a) Елемент у рядку $i$ та стовпці $j$ (j > 1) дорівнює \frac{i}{j} \cdot (елемент зверху зліва); тобто: F(i, j) = \frac{i}{j} \cdot F(i-1, j-1)

b) Перший елемент у кожному рядку F(i, 1) обирається так, щоб сума елементів у рядку дорівнювала $1$.

Напишіть програму для знаходження елементів у Трикутнику Фаульхабера у вигляді десяткових дробів у нескоротному вигляді.