Номер за дужковою послідовністю

Правильною дужковою послідовністю довжини $2n$ називається така послідовність, яка може зустрічатися у деякому арифметичному виразі. Наприклад, ()()() та (())() є правильними дужковими послідовностями, а (((()) та (()))( — ні.

Всі дужкові послідовності можна впорядкувати в лексикографічному порядку, вважаючи, що ( менше, ніж ). Наприклад, при n=3 список впорядкованих правильних дужкових послідовностей буде таким: ((())), (()()), (())(), ()(()), ()()().

Ваша задача — визначити лексикографічний номер (нумерація починається з нуля) заданої правильної дужкової послідовності довжини $2n$.