І залишився лише один

Давайте зіграємо в гру з видалення каменів.

Спочатку на колі розташовані $n$ каменів, пронумерованих від $1$ до $n$ за годинниковою стрілкою (Малюнок 1). Вам також дано два числа: $k$ та $m$. З цього початкового стану видаляйте камені один за одним, дотримуючись наведених нижче правил, поки не залишиться лише один. На першому кроці видаліть камінь номер $m$. На другому кроці знайдіть $k$-й камінь за годинниковою стрілкою від $m$ і видаліть його. На наступних кроках починайте з місця каменя, видаленого на попередньому кроці, зробіть $k$ стрибків за годинниковою стрілкою по залишених каменях і видаліть той, на якому зупинитеся. Іншими словами, пропустіть (k-1) залишених каменів за годинниковою стрілкою і видаліть наступний. Повторюйте цей процес, поки не залишиться лише один камінь, і вкажіть його номер.

Наприклад, для випадку n = 8, k = 5, m = 3 відповідь буде $1$, як показано на Малюнку 1.

Малюнок 1: Приклад гри

Початковий стан: Вісім каменів розташовані на колі.

Крок 1: Видаляється камінь $3$, оскільки m = 3.

Крок 2: Починаючи з місця, яке займав камінь $3$, пропускаєте чотири камені $4$, $5$, $6$ та $7$ (оскільки k = 5), і видаляєте наступний, тобто $8$.

Крок 3: Пропускаєте камені $1$, $2$, $4$ та $5$, і видаляєте $6$. Зверніть увагу, що враховуються лише камені, які залишилися на колі, а видалені ігноруються. Камінь $3$ ігнорується в цьому випадку.

Кроки 4–7: Продовжуйте, поки не залишиться лише один камінь. Зверніть увагу, що на пізніших кроках, коли залишилося лише кілька каменів, той самий камінь може бути пропущений кілька разів. Наприклад, камені $1$ та $4$ пропускаються двічі на кроці $7$.

Кінцевий стан: Нарешті, на колі залишається лише один камінь, $1$. Це кінцевий стан, тому відповідь — $1$.