Машина Мак-Каллоха

Одного разу інспектор Крейг відвідав свого старого приятеля Нормана Мак-Каллоча, якого він не зустрічав вже декілька років. Вони подружилися, ще будучи студентами Оксфордського університету, і Крейг завжди з великою теплотою згадував ті дні і свого друга — гарного хлопця, правда, трішки чудакуватого, який постійно видумував усілякі технічні курйози. І хоча наша розповідь відноситься до часів, коли сучасні комп'ютери ще не були винайдені, Мак-Каллоч у той час вже встиг сконструювати щось схоже на механічний рахувально-розв’язуючий пристрій, але, звичайно, за нинішніми мірками, досить примітивний.

Ця машина приймає на вхід певне число $X$ і, якщо воно є допустимим, то породжує відповідне йому число $Y$, діючи за суворо визначеними законами. Під числом тут розуміється довільне ціле додатне число, яке записується звичайним способом у вигляді деякої послідовності цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

1. Для будь-якого (можливо навіть порожнього) числа $X$ число $2X$ (тут і далі під $NM$ розуміється конкатенація записів чисел $N$ та $M$) є допустимим, причому число $2X$ породжує число $X$.

2. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $3X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то $3X$ породжує асоціат числа $Y$, тобто число $Y2Y$.

3. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $4X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то $4X$ породжує обернення числа $Y$ (тобто число, яке утворюється, якщо записати послідовно всі цифри числа $Y$ у зворотному порядку).

4. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $5X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то $5X$ породжує повторення числа $Y$, тобто число $YY$.

5. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $6X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то $6X$ породжує число $2Y$.

6. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $7X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то й $7X$ породжує число $Y$.

7. Для будь-якого допустимого числа $X$, число $8X$ також є допустимим. Якщо $X$ породжує число $Y$, то $8X$ породжує число $Y$ без останньої цифри, якщо в числі $Y$ є хоча б одна цифра, чи порожнє число, якщо $Y$ було порожнім.

Потрібно за заданим числом $X$ визначити число $Y$, яке по ньому породжує машина Мак-Каллоча.