Дартборд

Яап грає в дартс у місцевому пабі разом із друзями. Його навички кидання дротиків залишають бажати кращого, тому він просто намагається цілитися в центр мішені. Проте його математичні здібності значно кращі, і він задумався, який його очікуваний результат за один кидок дротика.

Через деякий час Яап визначив, що його дротики влучають у мішень (або часто промахуються) з розподілом ймовірності, який залежить лише від відстані $r$ від центру мішені, і має гауссову форму:

Тобто, ймовірність влучення в малу площу \Delta x \cdot \Delta y на відстані $r$ від центру задається як f(r) \Delta x \cdot \Delta y. Тут $\sigma$ позначає стандартне відхилення, і Яап з'ясував, що воно сильно залежить від кількості випитого пива.

Для тих, хто не знайомий з грою в дартс, мішень зображена нижче. Результат за влучення в кожну з областей мішені такий:

• внутрішнє яблучко варте 50 очок;

• кільце яблучка варте 25 очок;

• кожен сектор має вартість відповідного числа від 1 до 20, але

• внутрішнє потрійне кільце має потрійну вартість сектора, тоді як

• зовнішнє подвійне кільце має подвійну вартість.

Нарешті, якщо дротик потрапляє за межі подвійного кільця, результат дорівнює нулю. Зверніть увагу, що сектори всіх чисел мають однакову площу.

Рисунок 1: Стандартна мішень для дартсу (з Wikimedia, ліцензована CC BY-SA 3.0 автором Tijmen Stam).