Ehtimal Paradoksu#6382
Bu problem, ədalətli bir sikkənin təkrar atılmasını nəzərdən keçirir. Hər bir nəticə, H və ya T, 1/2 ehtimalına malikdir. Eyni uzunluqda olan hər hansı bir xüsusi atış ardıcıllığı, məsələn, HHH və ya THH, eyni ehtimala malikdir (məsələn, uzunluğu 3 olan bir ardıcıllıq üçün 1/8).
İndi iki oyunçulu bir oyunu nəzərdən keçirək. Hər bir oyunçu, eyni uzunluqda olan fərqli bir sikkə atış ardıcıllığını seçir. Məsələn, birinci oyunçu HHH proqnozlaşdırarkən, ikinci oyunçu THH proqnozlaşdırır. Oyun, hər iki oyunçunun eyni sikkəni təkrar-təkrar atıldığını müşahidə etməsi ilə başlayır, ta ki onlardan biri öz ardıcıllığını görənə qədər. Məsələn, müşahidə olunan atış ardıcıllığı HHTHTTHH... ilə başlayırsa, bizim nümunəmizdə ikinci oyunçu oyunu qazanır, çünki THH ardıcıllığını müşahidə etmişdir.
Bizi maraqlandıran sual budur ki, iki oyunçunun ardıcıllıqları verildikdə, birinci oyunçunun oyunu qazanma ehtimalı nə qədərdir? Ədalətli sikkə atdığımız üçün, bir çoxları ardıcıllıqların əhəmiyyətsiz olduğunu və hər bir oyunçunun oyunu qazanma ehtimalının 1/2 olduğunu düşünərdi. Lakin, bu belə deyil və bu, Ehtimal Paradoksu olaraq bilinir.
Bəzi ardıcıllıqlar üçün birinci oyunçu dəqiq 1/2 ehtimalı ilə qazanacaq. Məsələn, simmetriya səbəbindən, TT və HH ardıcıllıqlarının ilk olaraq meydana gəlmə şansı bərabərdir.
Lakin, yenidən bizim ilkin nümunəmizi nəzərdən keçirin, burada birinci oyunçu HHH seçir və ikinci oyunçu THH seçir. Bu xüsusi qarşılaşmada, birinci oyunçunun qazanmasının yeganə yolu, ilk üç atışın H olmasıdır. Çünki, əgər ilk HHH oyunun başlanğıcından başqa bir yerdə meydana gəlsəydi, ardıcıllıq
...?HHH
kimi təmsil edilə bilərdi, burada "..." ardıcıllığın mümkün olan boş başlanğıc hissəsini, və "?" isə HHH-dən dərhal əvvəlki atışı göstərir. "?" bir H ola bilməz, çünki
...HHHH
olardı və oyunu bitirən daha əvvəlki bir HHH olardı, ...HHHH-nin altı cizilmiş hissəsi. Lakin, əgər əvvəlki atış bir T olsaydı, məsələn
...THHH.
o zaman ikinci oyunçu artıq qazanmış olardı, çünki ...THHH-də THH ardıcıllığını müşahidə etmişdi. Buna görə də, HHH və THH ardıcıllıqlarını nəzərdən keçirərkən, birinci oyunçu yalnız ilk üç atış H olduqda qazanır, bu isə 1/8 ehtimalı ilə baş verir.
Başqa bir nümunə olaraq, əgər birinci oyunçu TTH seçərsə və ikinci oyunçu THH seçərsə, birinci oyunçu 2/3 ehtimalı ilə qazanacaq. Sizin vəzifəniz belə bir ehtimalı hesablayan bir proqram yazmaqdır.
Giriş bir və ya daha çox datasetdən ibarət olacaq, hər biri bir sətirdə. Hər bir dataset yalnız H və T simvollarından istifadə edərək bərabər uzunluqda, lakin fərqli iki ardıcıllıqdan ibarət olacaq. Ümumi ardıcıllıq uzunluğu 1 ilə 9 arasında olacaq, daxil olmaqla. İki ardıcıllıq arasında bir boşluq var. Giriş yalnız "$" olan bir sətirlə bitir.
Hər bir dataset üçün, təsadüfi sikkə atışlarının ardıcıllığında birinci ardıcıllığın ikinci ardıcıllıqdan əvvəl gəldiyi dəqiq ehtimalı bir sətirdə çıxarın. Ehtimal riyazi kəsir kimi, ən sadə formada, pay və məxrəcin arasında "/" işarəsi ilə ifadə edilməlidir. Hər bir oyunçunun qazanma şansı sıfırdan fərqli olduğuna görə, bu ehtimal həmişə 0 ilə 1 arasında olacaq.
Xəbərdarlıq: Bütün son ehtimalların pay və məxrəcini 32-bit tam ədədlərlə ifadə etmək olar. Lakin, yanaşmanıza görə, bəzi aralıq hesablamalar üçün 64-bit tam ədədlərə (Java-da long tipi və ya C++-da long long tipi) ehtiyacınız ola bilər və hətta o zaman diqqətli olmalısınız.
Nümunə 1