Навчання небезпеки

Навчання студентів — це весело, але іноді може бути незручно, як я відчув кілька днів тому. Я проводив заняття з курсу CSE3021 (Математичний аналіз для комп'ютерних наук) в моєму університеті, і на першому ж занятті викладав деякі дуже базові речі. Зокрема, я намагався навчити студентів, як визначити кількість нульових закінчень у $n!$ (факторіал $n$) в системі числення з основою $b$. Багато хто з вас знає, що кратність простого множника $p$ у $n!$ можна знайти за формулою

+ ... до нескінченності.

Цю формулу також можна використовувати для визначення кількості нульових закінчень у $n!$.

Після викладання цієї формули я показав студентам, як знайти кількість нульових закінчень у $200!$ у десятковій системі числення і з лукавою усмішкою попросив їх знайти кількість нульових закінчень у $100!$ у шістнадцятковій (на основі $16$) системі числення. Я знав, що правильна відповідь — $24$, і до мого великого здивування я отримав правильну відповідь від студента за кілька хвилин, тому я його привітав. Але через хвилину, коли я перевірив його розв'язок, виявилося, що він насправді обчислив кількість нульових закінчень у $100!$ у десятковій (а не шістнадцятковій) системі числення, і випадково обидві відповіді (нульові закінчення в шістнадцятковій і десятковій системі числення) були $24$. Тож я трохи зніяковів, і тепер ви повинні допомогти мені з'ясувати, чому ці дві відповіді були однаковими? Дано число $n$, вам потрібно знайти, скільки пар основ (b_1, b_2) існує, для яких $n!$ (факторіал $n$) має точно $p$ нульових закінчень в обох основах b_1 і b_2. Тут $p$ — це додатне ціле число, не менше ніж $x$.