Гіперкуб

Розгляньмо $4$-гіперкуб, відомий як тесеракт. Одиничний цільний тесеракт — це $4D$ фігура, яка є опуклою оболонкою $16$ точок з декартовими координатами ($\pm 1/2$, $\pm 1/2$, $\pm 1/2$, $\pm 1/2$), що є його вершинами. Він має $32$ ребра ($1D$), $24$ квадратні грані ($2D$) і $8$ кубічних $3$-граней ($3D$), відомих як комірки. Ми будемо вивчати порожнисті тесеракти і визначимо тесеракт як межу цільного тесеракта. Тобто тесеракт є об'єднанням $8$ цільних кубів (його комірок), які перетинаються між собою по $24$ квадратним граням, $32$ ребрам і $16$ вершинам.

Розріжемо тесеракт уздовж $17$ з його $24$ граней так, щоб він залишався зв'язаним по $7$ граням, які залишилися непошкодженими. Розгорнемо тесеракт на $3D$ гіперплощині шляхом обертання його утворюючих кубів уздовж граней, які залишилися неторканими, поки всі його комірки не опиняться в одній і тій же $3D$-гіперплощині. Результат називається $3$-мережею тесеракта. Цей процес є природним узагальненням розрізання і розгортання $3D$ куба на $2D$ площині для отримання $2$-мережі куба, що складається з $6$ квадратів.

У цій задачі вам дано деревоподібний $8$-полікуб у $3D$ просторі, відомий як октокуб. Октокуб — це колекція $8$ одиничних кубічних комірок, з'єднаних одна з одною гранями. Більш формально, перетин кожної пари кубічних комірок, що складають октокуб, або порожній, або точка, або одиничний відрізок ($1D$), або одиничний квадрат ($2D$). Даний октокуб є деревоподібним у наступному сенсі. Розгляньмо граф суміжності октокуба — граф з $8$ вершинами, що відповідають його $8$ коміркам. Між парами сусідніх комірок у графі суміжності існує ребро. Дві комірки октокуба є суміжними, якщо їх перетином є квадрат. Комірки, що перетинаються по точці або по відрізку, не вважаються суміжними. Октокуб називається деревоподібним, якщо його граф суміжності є деревом.

Ваше завдання полягає в тому, щоб визначити, чи є даний деревоподібний октокуб $3$-мережею тесеракта. Тобто чи може цей октокуб, поміщений на гіперплощину в просторі $4D$, бути складений у просторі $4D$ уздовж квадратів перетину його комірок з тесерактом.

Наприклад, подивіться нижче на ліву картинку. Вона показує дротяну рамку деревоподібного октокуба. Обертайте комірку GHLKG[1]H[1]L[1]K[1] навколо площини GHLK і комірку FGKJF[2]G[2]K[2]J[2] навколо площини FGKJ на кут $90$ градусів у $4$-му вимірі поза оригінальною гіперплощиною. У результаті точка G[1] з'єднається з G[2], а точка K[1] з'єднається з K[2]. Грань GKK[2]G[2] склеїться з гранню GKK[1]G[1]. Результат показано справа. $4$-й вимір ортогонально спроєктовано на $3$ і показано в перспективі. Точки, які вийшли з вихідної гіперплощини, позначені порожніми точками.

Обертайте EFJIE[1]F[1]J[1]I[1] навколо EFJI і EHLIE[2]H[2]L[2]I[2] навколо EHLI. Результат показано на рисунку зліва. Інші кроки наступні. Обертайте MNOPQRST навколо MNOP, потім обертайте MNOPQRST і IJKLMNOP навколо IJKL і обертайте ABCDEFGH навколо EFGH. Останній крок — склеювання всіх граней разом для отримання тесеракта, який показано справа.