Малювання

Борі було дуже нудно на уроці математики, тому він намагався знайти собі якусь розвагу. Однією з них було наступне. Він взяв аркуш паперу в клітинку, який складався з $4n$ рядків і $4m$ стовпців. Після кожного $4$-го рядка він накреслив лінію ручкою так, що аркуш поділився на $n$ великих рядків, кожен з яких складався з $4$ маленьких. Аналогічно він поділив $4m$ стовпців на $m$ рівних частин. Таким чином, він поділив увесь аркуш на $nm$ квадратів, кожен з яких складався з $16$ маленьких квадратів.

У кожен великий квадрат Боря запропонував Міші, який сидів з ним за однією партою, записати олівцем число від $4$ до $12$. Усі ці приготування були потрібні для того, щоб перевірити, чи добре Боря вміє малювати. Тепер Боря повинен зафарбувати деякі маленькі клітинки так, щоб виконувалися спеціальні умови.

Для початку Боря вирішив, що погано, коли в одних клітинок чотири сусіди, а в інших два або три. Тому Боря вважає, що для кожного рядка перша його клітинка є сусідньою з останньою. Аналогічно для кожного стовпця перша і остання клітинки також є сусідніми.

Усі зафарбовані Борею клітинки повинні утворювати зв'язну фігуру. Тобто для будь-яких двох зафарбованих клітинок повинен існувати шлях між ними із зафарбованих клітинок, де кожні дві сусідні в шляху клітинки є сусідніми на аркуші (з урахуванням Бориного рішення, що перша клітинка рядка є сусідньою з останньою, а верхня клітинка стовпця — сусідньою з нижньою).

Крім того, усі незафарбовані клітинки також повинні утворювати зв'язну фігуру.

Нарешті, якщо в деякій великій клітинці Міша записав число $X$, то в ній повинно бути зафарбовано рівно $X$ маленьких клітинок.

Боря впевнений, що які б числа не написав Міша, він завжди зможе зафарбувати клітинки так, щоб виконати всі умови. Доведіть, що ви вмієте малювати не гірше за Борю!