Казино

Розгляньмо наступну гру в кості. Гравець кидає звичайні кості (з числами від $1$ до $6$ на гранях) кілька разів і кожного разу підраховує загальну кількість очок. Гравець може завершити свій хід після будь-якого кидка, але повинен зробити хоча б один кидок. Якщо сума випавших очок перевищує $21$, гравець програє. Коли гравець закінчує свій хід, круп'є кидає кості за тією ж схемою. Гравець виграє, якщо у нього більше очок, ніж у круп'є. Більш формально, якщо гравець має S_p очок, а круп'є має S_c, то гравець виграє тоді і тільки тоді, коли (S_p \le 21 і (S_c > 21 або S_c < S_p)).

Оптимальна стратегія круп'є дозволяє казино виграти більш ніж у $2/3$ випадків. Але Андрій знайшов спосіб підвищити свої шанси на перемогу! Він буде грати разом з Великим Чоловіком. Великий Чоловік буде робити ставку $x$ євро в кожній грі, тоді як Андрій буде робити ставку $1$ євро в кожній грі. У разі перемоги гравець отримує свою подвоєну ставку. У разі програшу гравець не отримує нічого.

Схема гри виглядає наступним чином.

1. Великий Чоловік кидає кубик кілька разів, дотримуючись "найкращої" стратегії - стратегії, яка є оптимальною при грі з круп'є і без Андрія (він дійсно Великий і його зовсім не турбує маленький Андрій).

2. Потім Андрій кидає кубик кілька разів. Андрій знає кількість очок, яка випала у Великого Чоловіка. Андрій дуже розумний хлопчик, і він розуміє, що стратегія круп'є максимізує прибуток казино. Тому Андрій використовує оптимальну стратегію, враховуючи всі ці факти.

3. І нарешті, круп'є кидає кубик кілька разів. Як згадувалося вище, круп'є використовує оптимальну стратегію.

Ми називаємо стратегію оптимальною, якщо вона максимізує очікуваний прибуток. Якщо після наступного кидка будь-який гравець або круп'є мають однаковий очікуваний прибуток з поточною вартістю, то він або вона віддадуть перевагу кинути кубики.

Андрій підрахував, що якщо $x$ достатньо велике, то у нього є майже $50\%$ шанс виграти!