Вартість ризику

У сфері економіки та фінансів вартість під ризиком (VaR) є показником того, наскільки може знизитися ринкова вартість активу або портфеля активів протягом певного періоду часу (зазвичай $1$ або $10$ днів) за звичайних умов. Цей показник часто використовується міністерствами безпеки або інвестиційними банками для оцінки ринкового ризику їхніх портфелів активів (ринкова вартість під загрозою), але насправді є досить універсальною концепцією з широким застосуванням. Інформація взята з Вікіпедії, безкоштовної енциклопедії.

VaR визначається трьома параметрами:

• Часовий горизонт (період), що підлягає аналізу (тобто період, протягом якого планується утримувати активи в портфелі - «період очікування»). Зазвичай це $1$ день, хоча $10$ днів використовуються, наприклад, для розрахунку вимог до капіталу згідно з Європейською директивою про достатність капіталу (CAD). Для деяких задач підходить навіть період утримання $1$ рік.

• Рівень довіри, на якому проводиться оцінка. Популярні рівні довіри зазвичай становлять $99\%$ і $95\%$.

• Валюта, в якій буде виражена вартість під ризиком (VaR).

У цій задачі ми використовуємо фіксований рівень довіри $95\%$ і долар Берланда як валюту.

VaR - це максимальна сума ризику, яка може бути втрачена з інвестицій (в «нормальних» ринкових умовах) за певний період утримання на певному рівні довіри. Це протилежність ймовірності дефіциту, оскільки він представляє собою суму, яка буде втрачена з заданою ймовірністю, а не ймовірність того, що дана сума буде втрачена.

Розглянемо приклад торгового портфеля. Відома його сьогоднішня ринкова вартість у доларах Берланда, але його ринкова вартість на завтра вже невідома. Інвестиційний банк, що володіє цим портфелем, може повідомити, що портфель має $1$-денну VaR у $\$4$ мільйони при рівні довіри $95\%$. Це означає, що (за умови, що звичайні умови будуть переважати протягом $1$ дня) банк може очікувати, що з ймовірністю $95\%$ вартість його портфеля зменшиться не більше ніж на $\$4$ мільйони протягом $1$ дня або, іншими словами, що з ймовірністю $5\%$ вартість його портфеля зменшиться на $\$4$ мільйони або більше протягом $1$ дня.

Важливо зазначити, що цільовий рівень впевненості ($95\%$ у наведеному прикладі) є заданим параметром; результат розрахунку ($\$4$ мільйони у наведеному прикладі) представляє собою максимальну суму ризику (значення під ризиком) для цього рівня довіри.

У наступному випадку дохідність означає процентну зміну значення.

Існує безліч моделей для оцінки VaR. Кожна модель має свій набір припущень, але найбільш поширене припущення полягає в тому, що історичні ринкові дані є нашою найкращою оцінкою майбутніх змін. Важливе припущення моделі «дисперсії-коваріації» (VCV) полягає в тому, що дохідність факторів ризику завжди (спільно) розподіляється нормально і що зміна вартості портфеля залежить лінійно від усіх факторів ризику. Існують моделі «історичного моделювання» і «Монте-Карло», але тут ми розглянемо лише модель VCV.

Нижче ми розглянемо простий випадок, коли єдиним фактором ризику для портфеля є вартість самих активів. Наступні два припущення дозволяють перевести задачу оцінки VaR в лінійну алгебраїчну задачу:

1. Портфель складається з активів, дельта яких лінійні, а точніше: зміна вартості портфеля лінійно залежить від (тобто є лінійною комбінацією) всіх змін у значеннях активів, так що дохідність портфеля також лінійно залежить від всіх дохідностей активів;

2. Спільний розподіл дохідностей активів є нормальним.

Наслідки (1) і (2) полягають у тому, що дохідність портфеля нормально розподілена, оскільки завжди вважається, що лінійна комбінація спільно нормально розподілених змінних сама розподілена нормально.

Ми будемо використовувати наступні позначення:

• є $N$ активів;

• \mu_i = очікуване значення дохідності активу $i$;

• \mu_P = очікуване значення дохідності портфеля;

• \sigma_i = стандартне відхилення дохідності активу $i$;

• \sigma_P = стандартне відхилення дохідності портфеля;

• V_i = початкове значення активу $i$ (в одиницях валюти);

• V_P = початкове значення портфеля (в одиницях валюти);

• w_i = V_i / V_P

• $w$ = вектор всіх w_i (w^T означає транспонування)

• $\Sigma$ = коваріаційна матриця, тобто матриця коваріації між усіма $N$ активами, тобто N \times N матриця.

Коваріація між двома дійсними випадковими величинами $X$ і $Y$ з очікуваними значеннями E(X) = \mu і E(Y) = \upsilon визначається як: \text{cov}(X, Y) = E((X - \mu)(Y - \upsilon)), де $E$ оператор очікуваного значення. Розрахунок йде наступним чином.

Припущення про нормальність розподілу дозволяє нам $z$-масштабувати розраховане стандартне відхилення портфеля до відповідного рівня довіри. Таким чином, для $95\%$ рівня впевненості VaR ми отримуємо:

\text{VaR} = -V_P (\mu_P - 1.644854 \cdot \sigma_P)

Вам будуть надані хронологічні дані про ціни активів і кількість кожного активу в портфелі. Ви повинні розрахувати вартість ризику для цього портфеля.