Зростаючі синуси#10145

Зростаючі синуси (Розбір)

Конструктивно побудуємо потрібну послідовність. Оскільки синус є періодичною функцією з періодом $2 π$ , будемо шукати її у вигляді $s in (k (2 π + ɛ))$ sin(k(2π + ɛ)), де $k = 0, 1, 2, ...$ k = 0, 1, 2, ... . Знайдемо таке натуральне число $A$ , для якого існує ціле $k$ , що $A = 2 π k + ɛ$ A = 2πk + ɛ для якомога меншого значення $ɛ$ . Наприклад, якщо перебрати $A$ від $1$ до $1000$ , то найменше $ɛ$ досягається при $A = 710$ A = 710. У цьому випадку $710 \approx 2 π \cdot 113 + 0.00006028$ 710 ≈ 2π \cdot 113 + 0.00006028.

Нехай $A = 710$ A = 710. Розглянемо послідовність

s in (A), s in (2 A), s in (3 A), ..., s in (n A)

sin(A), sin(2A), sin(3A), ..., sin(nA)

Значення елементів цієї послідовності дорівнюють

s in (2 π \cdot 113 + ɛ), s in (2 \cdot 2 π \cdot 113 + 2 \cdot ɛ), s in (3 \cdot 2 π \cdot 113 + 3 \cdot ɛ), ..., s in (n \cdot 2 π \cdot 113 + n \cdot ɛ)

sin(2π \cdot 113 + ɛ), sin(2 \cdot 2π \cdot 113 + 2 \cdot ɛ), sin(3 \cdot 2π \cdot 113 + 3 \cdot ɛ), ..., sin(n \cdot 2π \cdot 113 + n \cdot ɛ)

або з урахуванням періодичності ці значення еквівалентні

s in (ɛ), s in (2 \cdot ɛ), s in (3 \cdot ɛ), \dots, s in (n \cdot ɛ)

sin(ɛ), sin(2 \cdot ɛ), sin(3 \cdot ɛ), …, sin(n \cdot ɛ)

Функція $s in (x)$ на проміжку $x \in [0; π /2]$ x ∈ [0; π/2] є зростаючою. Для того щоб послідовність вищезазначених дійсних чисел була монотонно зростаючою, достатньо виконання нерівності: $n \cdot ɛ \leq π /2$ n \cdot ɛ ≤ \pi / 2. Підставивши $n = 10000$ n = 10000 і $ɛ = 0.00006028$ ɛ = 0.00006028 отримаємо: $10000 \cdot 0.00006028 \leq π /2$ 10000 \cdot 0.00006028 \le \pi / 2 або $0.6028 \leq 1.57$ 0.6028 \le 1.57, що вірно. Таким чином, цим методом можна знайти $1 0^{4}$ 10^4 потрібних цілих чисел.

Реалізація алгоритму

Читаємо вхідне значення $n$ .

scanf("%d", &n);

На відрізку $[1..1000]$ знаходимо таке натуральне число $А$ , для якого при представленні у вигляді $A = 2 π k + ɛ$ A = 2πk + ɛ значення $ɛ$ буде найменшим.

bestA = 0;
bestE = 2 * PI;
for (a = 1; a < 1000; a++)
{
  e = fmod(a, 2.0 * PI);
  if (e < bestE)
  {
    bestE = e;
    bestA = a;
  }
}

C++

Значення $x = b es t A$ x = bestA буде дорівнювати $710$ .

x = bestA;

Виводимо шукану послідовність: $0 \cdot 710, 1 \cdot 710, 2 \cdot 710, ..., (n - 1) \cdot 710$ 0 \cdot 710, 1 \cdot 710, 2 \cdot 710, ..., (n - 1) \cdot 710.

for (i = 0; i < n; i++)
  printf("%d ", x * i);
printf("\n");