Квадрат удачі#12336

Квадрат удачі (Розбір)

Випадкова величина $X$ рівномірно розподілена на відрізку $[0; n]$ . При $n 0 ˘ 03 e 0$ n \u003e 0 її щільність розподілу стала на цьому відрізку і дорівнює нулю поза ним:

f (x) = \frac{1}{n}, 0 \leq x \leq n

f(x) = \frac{1}{n}, 0 ≤ x ≤ n

Виграш $W = X^{2}$ W = X^2 є функцією випадкової величини $X$ . Тому його математичне сподівання обчислюється як інтеграл від $x^{2}$ x^2, помноженого на щільність, по всій області можливих значень $X$ :

E [W] = E [x^{2}] = \int_{0}^{n} x^{2} f (x) d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x^{2} d x = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ^{3}}{3} = \frac{n ^{2}}{3}

E[W] = E[x^2] = ∫_0^n x^2 f(x)dx = \frac{1}{n} ∫_0^n x^2 dx = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^3}{3} = \frac{n^2}{3}

Для перевірки результат можна отримати іншим способом, через дисперсію. Для рівномірного розподілу на $[0; n]$ відомо, що $E [X] = n /2$ E[X] = n / 2 та $D [X] = n^{2} /12$ D[X] = n^2 / 12. Тоді

E [X^{2}] = D [X] + (E [X])^{2} = n^{2} /12 + n^{2} /4 = n^{2} /3

E[X^2] = D[X] + (E[X])^2 = n^2 / 12 + n^2 / 4 = n^2 / 3

Обидва способи дають однакову відповідь.

Таким чином, відповідь обчислюється за формулою $n^{2} /3$ n^2 / 3 за час $O (1)$ .

Приклад

Для $n = 10$ n = 10 відповідь дорівнює

E [x^{2}] = \frac{1 0 ^{2}}{3} = 33.333333

E[x^2] = \frac{10^2}{3} = 33.333333

Реалізація алгоритму

Зчитуємо вхідне значення $n$ .

scanf("%lld", \u0026n);

Обчислюємо та виводимо відповідь.

res = n * n / 3.0;
printf("%lf\n", res);