Il quadrato della fortuna#12336

Il quadrato della fortuna (Editoriale)

La variabile casuale $X$ è distribuita uniformemente sul segmento $[0; n]$ . Per $n > 0$ n > 0 la sua densità di distribuzione è costante su questo segmento ed è uguale a zero al di fuori di esso:

f (x) = \frac{1}{n}, 0 \leq x \leq n

f(x) = \frac{1}{n}, 0 ≤ x ≤ n

La vincita $W = X^{2}$ W = X^2 è una funzione della variabile casuale $X$ . Pertanto, il suo valore atteso si calcola come l'integrale di $x^{2}$ x^2, moltiplicato per la densità, su tutto il dominio dei valori possibili di $X$ :

E [W] = E [x^{2}] = \int_{0}^{n} x^{2} f (x) d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x^{2} d x = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ^{3}}{3} = \frac{n ^{2}}{3}

E[W] = E[x^2] = ∫_0^n x^2 f(x)dx = \frac{1}{n} ∫_0^n x^2 dx = \frac{1}{n} \cdot \frac{n^3}{3} = \frac{n^2}{3}

Per verifica, il risultato può essere ottenuto in un altro modo, attraverso la varianza. Per la distribuzione uniforme su $[0; n]$ è noto che $E [X] = n /2$ E[X] = n / 2 e $D [X] = n^{2} /12$ D[X] = n^2 / 12. Allora

E [X^{2}] = D [X] + (E [X])^{2} = n^{2} /12 + n^{2} /4 = n^{2} /3

E[X^2] = D[X] + (E[X])^2 = n^2 / 12 + n^2 / 4 = n^2 / 3

Entrambi i metodi forniscono la stessa risposta.

Pertanto, la risposta si calcola con la formula $n^{2} /3$ n^2 / 3 in tempo $O (1)$ .

Esempio

Per $n = 10$ n = 10 la risposta è uguale a

E [x^{2}] = \frac{1 0 ^{2}}{3} = 33.333333

E[x^2] = \frac{10^2}{3} = 33.333333

Implementazione dell'algoritmo

Leggiamo il valore di input $n$ .

scanf("%lld", &n);

Calcoliamo e stampiamo la risposta.

res = n * n / 3.0;
printf("%lf\n", res);