Numero decrescente (Editoriale)

Sia $f(n)$ il numero minimo di operazioni necessarie per trasformare il numero $n$ in $1$. Ad esempio,

• f(1) = 0, poiché abbiamo già il numero $1$;

• f(2) = 1, eseguiamo l'operazione 2 → 1;

• f(5) = 3, eseguiamo le operazioni 5 → 4 → 2 → 1;

• f(10) = 3, eseguiamo le operazioni 10 → 9 → 3 → 1;

Nel caso di n = 10, è più vantaggioso sottrarre prima $1$ piuttosto che usare l'approccio greedy e dividere per $2$.

Consideriamo il processo di calcolo della funzione $f(n)$.

• Se dividiamo il numero $n$ per $3$ (supponendo che $n$ sia divisibile per $3$), allora

  f(n) = f(n / 3) + 1

• Se dividiamo il numero $n$ per $2$ (supponendo che $n$ sia divisibile per $2$), allora

  f(n) = f(n / 2) + 1

• Se sottraiamo $1$ dal numero $n$, allora

  f(n) = f(n - 1) + 1

Dal numero $n$, possiamo ottenere uno dei tre numeri: $n/3,n/2$, oppure n - 1. Il numero di operazioni necessarie per ridurre ciascuno di questi numeri a $1$, è uguale rispettivamente a f(n / 3), f(n / 2) e f(i - 1). Poiché siamo interessati al numero minimo di operazioni, abbiamo la seguente relazione:

Nel caso in cui $n$ non sia divisibile per $2$ (o per $3$), allora il corrispondente elemento ($f(n/2)$ o $f(n/3)$) è assente nella funzione $min$. Ad esempio, per n = 8, abbiamo:

Allo stesso modo, per n = 7, otteniamo:

I valori della funzione $f(n)$ saranno memorizzati nelle celle dell'array d[MAX], dove MAX = 10^6 + 1. Riempire le celle dell'array $d$ da $1$ a 10^6 secondo la relazione di ricorrenza data. Ad esempio, la seguente tabella mostra i valori di $d[i]$ per 1 \le i \le 11:

Ad esempio,

In altre parole, è più efficiente sottrarre $1$ da $10$, piuttosto che dividerlo per $2$.

Esercizio

Trovare i valori di $d[i]$ per i seguenti valori di $i$:

Implementazione dell'algoritmo

Dichiarare un array $d$, dove la $i$-esima cella contiene il numero minimo di operazioni necessarie per trasformare il numero $i$ in $1$.

#define MAX 1000001
int d[MAX];

Riempire le celle dell'array $d$ secondo le formule fornite.

d[1] = 0;
for (i = 2; i < MAX; i++)
{
  // d[i] = min(d[i/3],d[i/2],d[i-1]) + 1
  d[i] = d[i - 1];
  if (i % 2 == 0) d[i] = min(d[i], d[i / 2]);
  if (i % 3 == 0) d[i] = min(d[i], d[i / 3]);
  d[i]++;
}

Per ogni valore di input $n$, stampare la risposta $d[n]$.

while(scanf("%d",&n) == 1)
  printf("%d\n",d[n]);

Implementazione dell'algoritmo — ricorsione

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 2000000000

int i, res, n;
int dp[1000001];

int min(int a, int b, int c)
{
  int res = a;
  if (b < res) res = b;
  if (c < res) res = c;
  return res;
}

int f(int n)
{
  if (n == 1) return 0;
  if (dp[n] != -1) return dp[n];
  int a = f(n - 1);
  int b = (n % 2 == 0) ? f(n / 2) : INF;
  int c = (n % 3 == 0) ? f(n / 3) : INF;
  return dp[n] = min(a,b,c) + 1;
}

int main(void)
{
  memset(dp, -1, sizeof(dp));
  while (scanf("%d", &n) == 1)
  {
    res = f(n);
    printf("%d\n", res);
  }
  return 0;
}

Implementazione in Java

import java.util.*;

public class Main
{
  public static int MAX = 1000001;    
  static int d[] = new int[MAX];

  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner con = new Scanner(System.in);
    d[1] = 0;
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
      d[i] = d[i-1] + 1;
      if (i % 2 == 0) d[i] = Math.min(d[i], d[i/2] + 1);
      if (i % 3 == 0) d[i] = Math.min(d[i], d[i/3] + 1);
   }

    while(con.hasNext())
    {
      int n = con.nextInt();
      System.out.println(d[n]);
    }
  }
}

Implementazione in Python

Creare una lista $d$, dove la $i$-esima cella contiene il numero minimo di operazioni necessarie per trasformare il numero $i$ in $1$.

d = [0] * 1000001

Riempire le celle dell'array $d$ secondo le formule fornite.

d[1] = 0
for i in range(2, 1000001):
  d[i] = d[i - 1]
  if i % 2 == 0 and d[i // 2] < d[i]:
    d[i] = d[i // 2]
  if i % 3 == 0 and d[i // 3] < d[i]:
    d[i] = d[i // 3]
  d[i] += 1

Per ogni valore di input $n$, stampare la risposta $d[n]$.

while True:
  try:
    n = int(input())
    print(d[n])
  except EOFError:
    break