Число, що зменшується (Розбір)

Нехай $f(n)$ позначає мінімальну кількість операцій, необхідних для перетворення числа $n$ на $1$. Наприклад,

• f(1) = 0, оскільки у нас вже є число $1$;

• f(2) = 1, виконуємо операцію 2 → 1;

• f(5) = 3, виконуємо операції 5 → 4 → 2 → 1;

• f(10) = 3, виконуємо операції 10 → 9 → 3 → 1;

У випадку n = 10 вигідніше спочатку відняти $1$, а не використовувати жадібний підхід і ділити на $2$.

Розглянемо процес обчислення функції $f(n)$.

• Якщо ми ділимо число $n$ на $3$ (за умови, що $n$ ділиться на $3$), то

  f(n) = f(n / 3) + 1

• Якщо ми ділимо число $n$ на $2$ (за умови, що $n$ ділиться на $2$), то

  f(n) = f(n / 2) + 1

• Якщо ми віднімаємо $1$ від числа $n$, то

  f(n) = f(n - 1) + 1

З числа $n$ ми можемо отримати одне з трьох чисел: $n/3,n/2$ або n - 1. Кількість операцій, необхідних для зведення кожного з цих чисел до $1$, дорівнює f(n / 3), f(n / 2) та f(i - 1) відповідно. Оскільки нас цікавить мінімальна кількість операцій, маємо наступне співвідношення:

У випадку, якщо $n$ не ділиться на $2$ (або на $3$), відповідний елемент ($f(n/2)$ або $f(n/3)$) відсутній у функції $min$. Наприклад, для n = 8 маємо:

Аналогічно, для n = 7 отримуємо:

Значення функції $f(n)$ зберігатимуться у комірках масиву d[MAX], де MAX = 10^6 + 1. Заповніть комірки масиву $d$ від $1$ до 10^6 згідно з наведеним рекурентним співвідношенням. Наприклад, наступна таблиця показує значення $d[i]$ для 1 \le i \le 11:

Наприклад,

Іншими словами, ефективніше відняти $1$ від $10$, ніж ділити його на $2$.

Вправа

Знайдіть значення $d[i]$ для наступних значень $i$:

Реалізація алгоритму

Оголосіть масив $d$, де $i$-та комірка містить мінімальну кількість операцій, необхідних для перетворення числа $i$ на $1$.

#define MAX 1000001
int d[MAX];

Заповніть комірки масиву $d$ згідно з наведеними формулами.

d[1] = 0;
for (i = 2; i 
{
  // d[i] = min(d[i/3],d[i/2],d[i-1]) + 1
  d[i] = d[i - 1];
  if (i % 2 == 0) d[i] = min(d[i], d[i / 2]);
  if (i % 3 == 0) d[i] = min(d[i], d[i / 3]);
  d[i]++;
}

Для кожного вхідного значення $n$ виведіть відповідь $d[n]$.

while(scanf("%d",&n) == 1)
  printf("%d\n",d[n]);

Реалізація алгоритму — рекурсія

#include 
#include 
#define INF 2000000000

int i, res, n;
int dp[1000001];

int min(int a, int b, int c)
{
  int res = a;
  if (b < res) res = b;
  if (c < res) res = c;
  return res;
}

int f(int n)
{
  if (n == 1) return 0;
  if (dp[n] != -1) return dp[n];
  int a = f(n - 1);
  int b = (n % 2 == 0) ? f(n / 2) : INF;
  int c = (n % 3 == 0) ? f(n / 3) : INF;
  return dp[n] = min(a,b,c) + 1;
}

int main(void)
{
  memset(dp, -1, sizeof(dp));
  while (scanf("%d", &n) == 1)
  {
    res = f(n);
    printf("%d\n", res);
  }
  return 0;
}

Реалізація на Java

import java.util.*;

public class Main
{
  public static int MAX = 1000001;    
  static int d[] = new int[MAX];

  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner con = new Scanner(System.in);
    d[1] = 0;
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
      d[i] = d[i-1] + 1;
      if (i % 2 == 0) d[i] = Math.min(d[i], d[i/2] + 1);
      if (i % 3 == 0) d[i] = Math.min(d[i], d[i/3] + 1);
   }

    while(con.hasNext())
    {
      int n = con.nextInt();
      System.out.println(d[n]);
    }
  }
}

Реалізація на Python

Створіть список $d$, де $i$-та комірка містить мінімальну кількість операцій, необхідних для перетворення числа $i$ на $1$.

d = [0] * 1000001

Заповніть комірки масиву $d$ згідно з наведеними формулами.

d[1] = 0
for i in range(2, 1000001):
  d[i] = d[i - 1]
  if i % 2 == 0 and d[i // 2] < d[i]:
    d[i] = d[i // 2]
  if i % 3 == 0 and d[i // 3] < d[i]:
    d[i] = d[i // 3]
  d[i] += 1

Для кожного вхідного значення $n$ виведіть відповідь $d[n]$.

while True:
  try:
    n = int(input())
    print(d[n])
  except EOFError:
    break