Трикутна павутина#4368

Трикутна павутина (Розбір)

Розглянемо, як поширюється вогонь на нескінченній трикутній решітці:

Початкова вершина. У момент часу $0$ горить тільки початкова вершина. Це дає першу одиницю в загальному числі палаючих вершин.
Перший рівень (через $1$ секунду). Вершини, які безпосередньо сусідять із початковою, загоряться через $1$ секунду. У трикутній решітці кожна вершина має $6$ сусідів. Отже, перший рівень містить $6$ вершин.
Другий рівень (через $2$ секунди). На наступну секунду загоряться вершини, які сусідять із уже палаючими вершинами першого рівня, але ще не горять. Другий рівень містить $12$ вершин.

Можна помітити закономірність: кожен новий рівень додає на $6$ вершин більше, ніж попередній.

Маємо арифметичну прогресію з першим членом $a_{1} = 6$ a_1 = 6 і різницею $d = 6$ d = 6.

Через $n$ секунд кількість палаючих вершин буде дорівнювати

r es = 1 + (6 + 12 + 18 + ... + (6 + 6 \cdot (n - 1)))

res = 1 + (6 + 12 + 18 + ... + (6 + 6 \cdot (n - 1)))

Використовуючи формулу суми арифметичної прогресії $\frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} n$ \frac{2a_1+d(n-1)}{2} n, отримаємо що

r es = 1 + \frac{2 \cdot 6 + 6 ( n - 1 )}{2} n = 1 + (6 + 3 (n - 1)) n = 1 + 3 n (n + 1)

res = 1 + \frac{2 \cdot 6 + 6(n - 1)}{2} n = 1 + (6 + 3 (n - 1)) n = 1 + 3 n (n + 1)

Реалізація алгоритму

Читаємо вхідне значення $n$ .

scanf("%lld",&n);

Обчислюємо і виводимо відповідь.

res = 1 + 3 * n * (n + 1);
printf("%lld\n",res);